Главная
Видео
Музыка
Программы
Игры
Книги
Аудиокниги
Книги
Журналы
Библиотеки04
апр
2019
апр
2019
Геометрия Лобачевского (2014)
Год издания: 2014 Автор: Атанасян Л.С.
Жанр или тематика: Математика
Издательство: Бином (Москва)
ISBN: 978-5-9963-2364-7
Язык: Русский
Формат: PDF
Качество: Издательский макет или текст (eBook)
Количество страниц: 467
Описание: Деривативное электронное издание на основе печатного аналога.
Аннотация: «Излагается геометрия Лобачевского на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая — стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги — ответы и указания к ним. Этим книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского.
Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями и физико-математических факультетов университетов, и педагогических вузов. Она также будет полезна учителям классов с углубленным изучением математики для индивидуальной работы с учениками, интересующимися математикой.»
Предисловие: «Основой курса «Геометрия Лобачевского» послужили лекции, которые автор неоднократно читал для студентов и магистрантов математического факультета Московского педагогического государственного университета. Автор поставил своей задачей дать систематическое, достаточно полное и строгое изложение геометрии Лобачевского на основе известных аксиом абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Метод изложения элементарно геометрический, синтетический, т. е. тот же, что и при изложении элементарной геометрии Евклида в книгах [1], [4], [11] и др.* В связи с этим в книге практически нет ссылок на проективную геометрию, на теорию групп и другие разделы высшей математики.
Настоящий курс состоит из двух частей. Первая часть посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая часть — стереометрии. В последней главе второй части курса дается доказательство логической непротиворечивости трехмерной геометрии Лобачевского, приведены краткие исторические сведения об открытии геометрии Лобачевского и излагаются некоторые философские вопросы, связанные с применением геометрии Лобачевского к реальному пространству. Как первая, так и вторая части учебного пособия снабжены достаточным числом задач для самостоятельного решения (свыше 300 задач). Задачи помещены в конце каждой главы и соответствуют ее материалу. В конце книги даны краткие указания к решению многих задач, а также приложения со списком аксиом абсолютной планиметрии и аксиом стереометрии Лобачевского.
В заключение отметим, что в случае недостатка времени отдельные главы, например главы VI, VII, VIII части I и главы V, VI части II можно опустить без ущерба понимания материала последующих глав. Кроме того, некоторые утверждения и теоремы, которые доказываются сложно (например, содержание § 5, частично § 8, лемма I из § 14 и др.), можно дать без доказательства, опираясь на наглядно интуитивные соображения. Это особенно важно при изучении геометрии Лобачевского учащимися средней школы.
Книга будет полезна студентам физико-математических факультетов университетов и педагогических высших учебных заведений. Она может быть использована учителями и учащимися в классах общеобразовательных учреждений, особенно в школах (классах) с углубленным изучением математики, для проведения факультативных занятий, в работе математических кружков, а также для индивидуальной работы с учащимися, проявляющими интерес к математике.»
Об авторе (текст с задней стороны обложки книги)
Атанасян Левон Сергеевич (1921 — 1998) родился в Ереване в семье учителей. После окончания школы в 1939 г. поступил на физико-математический факультет Московского государственного педагогического института им. К. Либкнехта. В 1949 г. им была защищена кандидатская диссертация на кафедре геометрии Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина. Вся его преподавательская деятельность прошла в стенах МГПИ им. Ленина. Он занимал должности декана физико-математического факультета, проректора по учебной работе. С 1955 г. до своей смерти заведовал кафедрой геометрии этого учебного заведения. С 1969 по 1977 гг. работал в Департаменте высшего образования ЮНЕСКО в Париже.
Левон Сергеевич приступил к работе над школьными учебниками по геометрии в 1978 г. Он автор более 40 книг, учебников по геометрии для школьников и студентов педвузов, научных и научно-методических статей. В настоящее время комплекты учебников по геометрии для основной и старшей школы возглавляемых им авторских коллективов являются самыми распространенными и востребованными в России. Левон Сергеевич является Почетным профессором Московского педагогического государственного университета, он пользовался большим уважением и любовью коллег по работе, студентов и своих учеников.
Левон Сергеевич приступил к работе над школьными учебниками по геометрии в 1978 г. Он автор более 40 книг, учебников по геометрии для школьников и студентов педвузов, научных и научно-методических статей. В настоящее время комплекты учебников по геометрии для основной и старшей школы возглавляемых им авторских коллективов являются самыми распространенными и востребованными в России. Левон Сергеевич является Почетным профессором Московского педагогического государственного университета, он пользовался большим уважением и любовью коллег по работе, студентов и своих учеников.
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Часть I. Планиметрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 1. Обзор основных следствий и аксиом групп I–III абсолютной планиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 2. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 3. Аксиомы непрерывности. Измерение отрезков и углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 4. Движения. Осевая и центральная симметрии . . . . 23
§ 5. Сонаправленность лучей. Направленная прямая . . 28
Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . 35
§ 6. Аксиома Лобачевского. Теоремы о сумме углов треугольника и четырехугольника . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 7. Признаки равенства треугольников на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 8. Предложения, эквивалентные аксиоме Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 9. Параллельность луча и прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 10. Параллельность направленных прямых . . . . . . . . . . 55
§ 11. Параллельность ненаправленных прямых . . . . . . . . 60
§ 12. Функция Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Глава 3. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§ 13. Двупрямоугольник. Четырехугольник Саккери . . . 73
§ 14. Взаимное расположение параллельных прямых . . 77
§ 15. Расходящиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 16. Заградительные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§ 17. Проекция прямой на прямую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Глава 4. Окружность, эквидистанта и орицикл . . . . . . 107
§ 18. Пучки прямых на плоскости Лобачевского и их образы при движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 19. Траектории пучков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 20. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 21. Взаимное расположение прямой и окружности и двух окружностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 22. Эквидистанта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 23. Орицикл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
§ 24. Взаимное расположение прямой и орицикла. Предельная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Глава 5. Треугольники, четырехугольники и правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 25. Сумма углов треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 26. Замечательные точки и прямые треугольника . . . 166
§ 27. Взаимное расположение прямых, содержащих высоты треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 28. Основные виды выпуклых четырехугольников . . . 178
§ 29. Правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Глава 6. Движения плоскости Лобачевского. Классификация движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 30. Движения плоскости. Произведение движений . . . 198
§ 31. Инвариантные точки и инвариантные прямые движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 32. Орициклическое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§ 33. Классификация движений на плоскости Лобачевского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
§ 34. Группа симметрий циклических линий . . . . . . . . . . 218
§ 35. Конгруэнтные отображения прямой на прямую. Движения прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Глава 7. Расширенная плоскость. Вырожденные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
§ 36. Отображение плоскости Лобачевского на открытый круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
§ 37. Образы простейших фигур при отображении ΩOr 234
§ 38. Несобственные точки плоскости. Расширенная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
§ 39. Вырожденные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§ 40. Биссектрисы и высоты вырожденного треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ 41. Движения расширенной плоскости . . . . . . . . . . . . . . 261
Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Глава 8. Дефект и площадь многоугольника на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§ 42. Дефект многоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§ 43. Площадь многоугольника. Равносоставленные и равновеликие многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . 280
§ 44. Основные теоремы о площадях многоугольников . 285
§ 45. Площадь вырожденного треугольника . . . . . . . . . . . 291
Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Часть II. Стереометрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
§ 1. Обзор основных следствий из аксиом абсолютной геометрии трехмерного пространства . . . . . . . . . . . . 300
§ 2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости 303
§ 3. Перпендикулярность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . 306
§ 4. Движения пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
§ 5. Аксиома Лобачевского. Параллельность лучей . . . 314
§ 6. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
§ 7. Параллельность прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . 321
§ 8. Параллельность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
§ 9. Взаимное расположение двух плоскостей . . . . . . . . 332
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Глава 3. Простейшие поверхности в пространстве Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
§ 10. Связки прямых в пространстве и их траектории . 341
§ 11. Сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
§ 12. Эквидистантная поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
§ 13. Орисфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Глава 4. Орицикл. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности . . . . . . . . . . . . . . 368
§ 14. Длина дуги орицикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
§ 15. Концентрические дуги орициклов . . . . . . . . . . . . . . . 372
§ 16. Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
§ 17. Трехвершинник. Абсолютная дуга орицикла . . . . . 379
§ 18. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Глава 5. Гиперболическая тригонометрия и ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 19. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 20. Тригонометрические соотношения в произвольном треугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
§ 21. Аналитическое выражение функции Лобачевского 406
§ 22. Теорема Чевы, свойства биссектрис и медиан треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Глава 6. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского и реальное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
§ 23. Интерпретация Кэли — Клейна системы аксиом трехмерной геометрии Лобачевского . . . . . . . . . . . . . 417
§ 24. Наложения в интерпретации Кэли — Клейна . . . . . . 421
§ 25. Проверка выполнения аксиом групп III–V в интерпретации Кэли — Клейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
§ 26. Открытие геометрии Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . 432
§ 27. Геометрия Лобачевского и реальное пространство 436
Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Указания и ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Часть I. Планиметрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 1. Обзор основных следствий и аксиом групп I–III абсолютной планиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 2. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 3. Аксиомы непрерывности. Измерение отрезков и углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 4. Движения. Осевая и центральная симметрии . . . . 23
§ 5. Сонаправленность лучей. Направленная прямая . . 28
Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . 35
§ 6. Аксиома Лобачевского. Теоремы о сумме углов треугольника и четырехугольника . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 7. Признаки равенства треугольников на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 8. Предложения, эквивалентные аксиоме Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§ 9. Параллельность луча и прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 10. Параллельность направленных прямых . . . . . . . . . . 55
§ 11. Параллельность ненаправленных прямых . . . . . . . . 60
§ 12. Функция Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Глава 3. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§ 13. Двупрямоугольник. Четырехугольник Саккери . . . 73
§ 14. Взаимное расположение параллельных прямых . . 77
§ 15. Расходящиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 16. Заградительные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§ 17. Проекция прямой на прямую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Глава 4. Окружность, эквидистанта и орицикл . . . . . . 107
§ 18. Пучки прямых на плоскости Лобачевского и их образы при движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 19. Траектории пучков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 20. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 21. Взаимное расположение прямой и окружности и двух окружностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 22. Эквидистанта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 23. Орицикл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
§ 24. Взаимное расположение прямой и орицикла. Предельная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Глава 5. Треугольники, четырехугольники и правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 25. Сумма углов треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 26. Замечательные точки и прямые треугольника . . . 166
§ 27. Взаимное расположение прямых, содержащих высоты треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 28. Основные виды выпуклых четырехугольников . . . 178
§ 29. Правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Глава 6. Движения плоскости Лобачевского. Классификация движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 30. Движения плоскости. Произведение движений . . . 198
§ 31. Инвариантные точки и инвариантные прямые движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 32. Орициклическое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§ 33. Классификация движений на плоскости Лобачевского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
§ 34. Группа симметрий циклических линий . . . . . . . . . . 218
§ 35. Конгруэнтные отображения прямой на прямую. Движения прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Глава 7. Расширенная плоскость. Вырожденные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
§ 36. Отображение плоскости Лобачевского на открытый круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
§ 37. Образы простейших фигур при отображении ΩOr 234
§ 38. Несобственные точки плоскости. Расширенная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
§ 39. Вырожденные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§ 40. Биссектрисы и высоты вырожденного треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ 41. Движения расширенной плоскости . . . . . . . . . . . . . . 261
Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Глава 8. Дефект и площадь многоугольника на плоскости Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§ 42. Дефект многоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§ 43. Площадь многоугольника. Равносоставленные и равновеликие многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . 280
§ 44. Основные теоремы о площадях многоугольников . 285
§ 45. Площадь вырожденного треугольника . . . . . . . . . . . 291
Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Часть II. Стереометрия
Глава 1. Обзор основных фактов абсолютной геометрии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
§ 1. Обзор основных следствий из аксиом абсолютной геометрии трехмерного пространства . . . . . . . . . . . . 300
§ 2. Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости 303
§ 3. Перпендикулярность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . 306
§ 4. Движения пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Глава 2. Аксиома Лобачевского. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
§ 5. Аксиома Лобачевского. Параллельность лучей . . . 314
§ 6. Параллельность прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
§ 7. Параллельность прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . 321
§ 8. Параллельность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
§ 9. Взаимное расположение двух плоскостей . . . . . . . . 332
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Глава 3. Простейшие поверхности в пространстве Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
§ 10. Связки прямых в пространстве и их траектории . 341
§ 11. Сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
§ 12. Эквидистантная поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
§ 13. Орисфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Глава 4. Орицикл. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности . . . . . . . . . . . . . . 368
§ 14. Длина дуги орицикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
§ 15. Концентрические дуги орициклов . . . . . . . . . . . . . . . 372
§ 16. Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
§ 17. Трехвершинник. Абсолютная дуга орицикла . . . . . 379
§ 18. Внутренние геометрии орисферы и эквидистантной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Глава 5. Гиперболическая тригонометрия и ее приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 19. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 20. Тригонометрические соотношения в произвольном треугольнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
§ 21. Аналитическое выражение функции Лобачевского 406
§ 22. Теорема Чевы, свойства биссектрис и медиан треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Глава 6. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского и реальное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
§ 23. Интерпретация Кэли — Клейна системы аксиом трехмерной геометрии Лобачевского . . . . . . . . . . . . . 417
§ 24. Наложения в интерпретации Кэли — Клейна . . . . . . 421
§ 25. Проверка выполнения аксиом групп III–V в интерпретации Кэли — Клейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
§ 26. Открытие геометрии Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . 432
§ 27. Геометрия Лобачевского и реальное пространство 436
Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Указания и ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456