Родился в 1949 году в пригороде Буэнос-Айреса в скромной семье. Начал работать в 13 лет. В одной из своих книг Букай сказал о себе так: «Я торговал на улице носками, был клоуном, страховым агентом, кладовщиком и таксистом. Но в итоге мальчик из средней семьи стал врачом, психотерапевтом, преподавателем, лектором, ведущим авторской программы на радио и телевидении, автором книг».
В 1973 году Букай окончил медицинский факультет Университета в Буэнос-Айресе и более 30 лет проработал психотерапевтом и психоаналитиком. Был сотрудником госпиталя Пировано и в клинике г. Санта-Моника в Буэнос-Айресе, где специализировался на психических заболеваниях.