В детстве он мечтал стать полярным летчиком. С авиацией, была связана вся семья Леоновых: отец и мать работали на авиазаводе. После 7 класса пошел на завод учеником токаря и Евгений. А после смены по вечерам тайком искал театральную студию. Наконец поступил - в училище Художественного театра. А спустя время, стал актером Театра имени Станиславского. Но для кино открыл Леонова режиссер Владимир Фетин. Он предложил Леонову яркую комическую роль в фильме "Полосатый рейс" - буфетчика Шулейкина, выдавшего себя за укротителя тигров. Спустя три года Фетин пригласил Леонова на драматическую роль в мелодраме "Донская повесть" по рассказам Михаила Шолохова. Теперь привычные комедийные роли Леонова все чаще стали наполняться трагикомическими красками. Таким, например, стал его Иван Травкин в знаменитой комедии Георгия Данелии "Тридцать три". Затем последовали роли в комедии В. Мережко «Зареченские женихи» (сват Коротейка), в лирической драме П. Тодоровского "Фокусник" (Рассомахин), в сказке Г. Казанского "Снежная королева" (король), в киноромане В. Фетина "Виринея" (Михайло) и многие другие.