С 1950 года А.Бабаджанян преподавал в Ереванской консерватории. В 1956 году А. Бабаджанян переехал в Москву. Много и плодотворно композитор сотрудничал с поэтом Робертом Рождественским и певцом Муслимом Магомаевым - («Королева красоты», «Голубая тайга», «Улыбнись», «Будь со мной», «В нежданный час», «Встреча», "Воспоминание", "Позови меня", "Загадай желание", "Благодарю тебя", "Свадьба") Феноменальный успех выпал и на долю песен, написанных в содружестве с Евгением Евтушенко ("Не спеши", "Чертово колесо", "Твои следы"), Андреем Вознесенским ("Год любви", "Москва-река", "Верни мне музыку"), Леонидом Дербеневым ("Лучший город земли").
В 1973 году на Всемирном конкурсе песни в Токио за песню Чертово колесо Бабаджанян получил Первый приз, обогнав своего знаменитого соперника, французского композитора Фрэнсиса Лэя,чья музыка к кинофильмам.
Немало сделано гениальным композитором и в области инструментального джаза, музыкально-театральных жанров - именно им написаны мюзиклы "Дядя Багдасар", "Невеста с Севера", "В горах мое сердце".
Песни Бабаджаняна отличаются оптимистическим восприятием жизни, открытой, доверительной интонацией, ярким щедрым мелодизмом.
Вершинами признания стали звание Народного артиста СССР (1971) и Государственная премия СССР (1981).